О рациональных приближениях интегралов Пуассона на отрезке суммами Фейера интегральных операторов Фурье – Чебышева

   Изучаются аппроксимации суммами Фейера рациональных интегральных операторов Фурье – Чебышева с ограничениями на число геометрически различных полюсов. В качестве объекта исследований выступает класс функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке [–1, 1]. Установлены интегральные представления приближений и оценки сверху равномерных приближений. В случае, когда граничная функция имеет на отрезке [–1, 1] степенную особенность, найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений, асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Подробно исследуется задача об аппроксимации интегралов Пуассона при двух геометрически различных полюсах аппроксимирующей рациональной функции. В этом случае найдены оптимальные значения параметров, при которых достигается наибольшая скорость равномерных приближений изучаемым методом. В случае, когда интеграл Пуассона является представлением функции |x|s, s ∈ (0, 1], оценки равномерных приближений являются выше соответствующих полиномиальных аналогов. В качестве следствия получены асимптотические выражения точных верхних граней отклонений сумм Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева на классах интегралов Пуассона на отрезке, а также оценки равномерных приближений функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке, с граничной функцией, имеющей степенную особенность, суммами Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева.

1. Никольский, С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем / С. М. Никольский // Известия АН СССР. Сер. мат. – 1946. – Т. 10, № 3. – С. 207–256.

2. Стечкин, С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций / С. Б. Стечкин // Тр. МИАН СССР. – 1980. – Т. 145. – С. 126–151.

3. Степанец, А. И. Решение задачи Колмогорова – Никольского для интегралов Пуассона непрерывных функций / А. И. Степанец // Мат. сб. – 2001. – Т. 192, № 1. – С. 113–138. doi: 10.4213/sm538

4. Serdyuk, A. S. Asymptotic behavior of best approximations of classes of Poisson integrals of functions from Hω / A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko // J. Approxim. Theory. – 2011. – Vol. 163, iss. 11. – P. 1692–1706. doi: 10.1016/j.jat.2011.06.008

5. Новиков, О. А. Приближение интегралов Пуассона линейными методами / О. А. Новиков, О. Г. Ровенская, Ю. В. Козаченко // Працi IПММ НАН України. – 2017. – Т. 31. – С. 92–108.

6. Ровенська, О. Г. Наближення класiв iнтегралiв Пуассона повторнiмi сумами Фейера / О. Г. Ровенська // Буковин. мат. журн. – 2020. – Т. 8, № 2. – С. 114–121. doi: 10.31861/bmj2020.02.10

7. Fejer, L. Untersuchungen uber Fouriersche Reihen / L. Fejer // Math. Ann. – 1904. – Vol. 58, iss. 1–2. – P. 51–69.

8. Lebesgue, H. Sur les integrales singulieres / H. Lebesgue // Annales de la faculte des sciences de Toulouse, 3e serie. – 1909. – Vol. 1. – P. 25–117.

9. Bernstein, S. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes de degre donne / S. Bernstein. – Bruxelles: M. Hayez. Imprimeur de l’academie royale de Belgique, 1912. – 104 p.

10. Никольский, С. М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1940. – Т. 4, № 6. – С. 501–508.

11. Zygmund, A. On the degree of approximation of functions by Fejer means / A. Zygmund // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1945. – Vol. 51, iss. 4. – P. 274–278. doi: 10.1090/s0002-9904-1945-08332-3

12. Ефимов, А. В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера / А. В. Ефимов // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1958. – Т. 22, № 1. – С. 81–116.

13. Стечкин, С. Б. О приближении периодических функций суммами Фейера / С. Б. Стечкин // Тр. МИАН СССР. – 1961. – Т. 62. – С. 48–60.

14. Теляковский, С. А. О приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера / С. А. Теляковский // Укр. мат. журн. – 1969. – Т. 21, № 3. – С. 334–343.

15. Мартынюк, В. Т. Точные константы приближения периодических функций операторами Фейера / В. Т. Мартынюк // Укр. мат. журн. – 1990. – Т. 42, № 1. – С. 75–83.

16. Новиков, О. А. Приближение классов интегралов Пуассона суммами Фейера / О. А. Новиков, О. Г. Ровенская // Компьютер. исслед. и моделирование. – 2015. – Т. 7, № 4. – С. 813–819. doi: 10.20537/2076-7633-2015-7-4-813-819

17. Novikov, O. O. Approximation of periodic analytic functions by Fejer sums / O. O. Novikov, O. G. Rovenska // Matematychni Studii. – 2017. – Vol. 47, № 2. – P. 196–201. doi: 10.15330/ms.47.2.196-201

18. Ровенская, О. Г. О приближении средними Фейера классов аналитических периодических функций / О. Г. Ровенская, О. А. Новиков // Чебышев. сб. – 2020. – Т. 21, № 4. – С. 218–226. doi: 10.22405/2226-8383-2020-21-4-218-226

19. Русецкий, Ю. И. О приближении непрерывных на отрезке функций суммами Абеля – Пуассона / Ю. И. Русецкий // Сиб. мат. журн. – 1968. – Т. 9, № 1. – С. 136–144.

20. Жигалло, Т. В. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица на конечном отрезке вещественной оси, интегралами Пуассона – Чебышева / Т. В. Жигалло // Проблемы управления и информатики. – 2018. – № 3. – С. 1–14.

21. Русак, В. Н. Об одном методе приближения рациональными функциями / В. Н. Русак // Вес. Акад. навук БССР. Сер. фіз.-мат. навук. – 1978. – № 3. – С. 15–20.

22. Ровба, Е. А. Рациональные интегральные операторы на отрезке / Е. А. Ровба // Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 1996. – № 1. – С. 34–39.

23. Смотрицкий, К. А. О приближении выпуклых функций рациональными интегральными операторами на отрезке / К. А. Смотрицкий // Вестн. БГУ. Сер. 1. Математика и информатика. – 2005. – № 3. – С. 64–70.

24. Ровба, Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации / Е. А. Ровба // Докл. Акад. наук БССР. – 1979. – Т. 23, № 11. – С. 968–971.

25. Поцейко, П. Г. Приближения на классах интегралов Пуассона рациональными интегральными операторами Фурье – Чебышева / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Сиб. мат. журн. – 2021. – Т. 62, № 2. – С. 362–386. doi: 10.33048/smzh.2021.62.209

26. Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск: БГУ, 1979. – 178 с.

27. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – 5-е изд., стер. – М.: Нау ка, 1977. – 735 с.

28. Поцейко, П. Г. О рациональных аппроксимациях функции Маркова на отрезке суммами Фейера с фиксированным количеством полюсов / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Тр. ин-та математики. – 2022. – Т. 30, № 1–2. – С. 57–77.

29. Поцейко, П. Г. Суммы Фейера рационального ряда Фурье – Чебышева и аппроксимации функции |x|s / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 3. – С. 18–34. doi: 10.33581/2520-6508-2019-3-18-34