Левоинвариантные метрические f-структуры на трехмерных разрешимых группах Ли

Исследуются трехмерные разрешимые группы Ли с точки зрения обобщенной эрмитовой геометрии. Соответствующие трехмерные разрешимые алгебры Ли впервые были классифицированы Г. М. Мубаракзянов ым в 1963 г. Используя классификацию в несколько иных обозначениях, мы строим базовые левоинвариантные метрические f-структуры ранга 2 на всех трехмерных разрешимых группах Ли, снабженных стандартной левоинвариантной римановой метрикой. Доказано, что все рассмотренные f-структуры принадлежат одному или нескольким классам обобщенных почти эрмитовых структур. В результате это дает возможность предъявить новые примеры левоинвариантных киллинговых, приближенно келеровых, обобщенных приближенно келеровых и эрмитовых f-структур на разрешимых группах Ли. 

1. Yano, K. On a structure defined by a tensor field f of type (1, 1) satisfying f 3 + f = 0 / K. Yano // North-Holland Mathematics Studies. – 1982. – Vol. 70. – P. 251–261. https://doi.org/10.1016/s0304-0208(08)72251-5

2. Кириченко, В. Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры / В. Ф. Кириченко // Известия АН СССР. Серия математическая. – 1983 – Т. 47, № 6. – С. 1208–1223.

3. Кириченко, В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий / В. Ф. Ки риченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – 1986. – Т. 18. – С. 25–71.

4. Кириченко, В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / В. Ф. Кириченко. – М.: МПГУ, 2003. – 495 с.

5. Степанов, Н. А. Основные факты теории φ-пространств / Н. А. Степанов // Известия вузов. Математика. – 1967. – № 3. – С. 88–95.

6. Wolf, J. A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms / J. A. Wolf, A. Gray // Journal of Differential Geometry. – 1968. – Vol. 2, № 1. – P. 77–114. https://doi.org/10.4310/jdg/1214501139

7. Феденко, А. С. Пространства с симметриями / А. С. Феденко. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 168 с.

8. Ковальский, О. Обобщенные симметрические пространства / О. Ковальский. – М.: Мир, 1984. – 240 с.

9. Степанов, Н. А. Однородные 3-циклические пространства / Н. А. Степанов // Известия вузов. Математика. – 1967. – № 12. – С. 65–74.

10. Gray, A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3 / A. Gray // Journal of Differential Geometry. – 1972. – Vol. 7, № 3–4. – P. 343–369. https://doi.org/10.4310/jdg/1214431159

11. Балащенко, В. В. Канонические аффинорные структуры классического типа на регулярных Φ-пространствах / В. В. Балащенко, Н. А. Степанов // Математический сборник. – 1995. – Т. 186, № 11. – С. 3–34.

12. Балащенко, В. В. Естественно редуктивные киллинговы f-многообразия / В. В. Балащенко // Успехи математических наук. – 1999. – Т. 54, № 3. – С. 151–152.

13. Балащенко, В. В. Однородные эрмитовы f-многообразия / В. В. Балащенко // Успехи математических наук. – 2001. – Т. 56, № 3. – С. 159–160.

14. Балащенко, В. В. Однородные приближенно келеровы f-многообразия / В. В. Балащенко // Доклады РАН. – 2001. – Т. 376, № 4. – С. 439–441.

15. Balashchenko, V. V. Invariant nearly Kähler f-structures on homogeneous spaces / V. V. Balashchenko // Global Differential Geometry: The Mathematical Legacy of Alfred Gray. – 2001. – Vol. 288. – P. 263–267. https://doi.org/10.1090/conm/288/04831

16. Балащенко, В. В. Обобщенная эрмитова геометрия на однородных Φ-пространствах конечного порядка / В. В. Балащенко, Д. В. Вылегжанин // Известия вузов. Математика. – 2004. – № 10. – С. 33–44.

17. Балащенко, В. В. Приближенно келеровы и эрмитовы f-структуры на однородных k-симметрических пространствах / В. В. Балащенко, А. С. Самсонов // Доклады РАН. – 2010. – Т. 432, № 3. – С. 295–298.

18. Самсонов, А. С. Приближенно келеровы и эрмитовы f-структуры на однородных Φ-пространствах порядка k в случае специальных метрик / А. С. Самсонов // Сибирский математический журнал. – 2011. – Т. 52, № 6. – С. 1373–1388.

19. Клепиков, П. Н. Трехмерные неунимодулярные группы Ли с римановой метрикой инвариантного солитона Риччи и полусимметрической метрической связностью / П. Н. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. П. Хромова // Известия вузов. Математика. – 2022. – № 5. – С. 80–85. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2022-5-80-85

20. Клепиков, П. Н. Уравнение Эйнштейна на трехмерных метрических группах Ли с векторным кручением / П. Н. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. П. Хромова // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. – 2020. – Т. 181, №. 1. – С. 41–53. https://doi.org/10.36535/0233-6723-2020-181-41-53

21. Хромова, О. П. О симметрических потоках Риччи полусимметрических связностей на трехмерных метрических группах Ли / О. П. Хромова, В. В. Балащенко // Известия Алтайского государственного университета. – 2023. – № 1. – С. 141–144.

22. Stong, R. E. The rank of an f-structure / R. E. Stong // Kodai Mathematical Seminar Reports. – 1977. – Vol. 29, № 1–2. – P. 207–209. https://doi.org/10.2996/kmj/1138833583

23. Яно, К. CR-подмногообразия в келеровом и сасакиевом многообразиях / К. Яно, М. Кон. – М.: Наука, 1990. – 189 с.

24. Singh, K. D. Some f(3,ε) structure manifolds / K. D. Singh, Singh Rakeshwar // Demonstratio Mathematica. – 1977. – Vol. 10, № 3–4. – P. 637–645. https://doi.org/10.1515/dema-1977-3-411

25. Грицанс, А. С. О геометрии киллинговых f-многообразий / А. С. Грицанс // Успехи математических наук. – 1990. – Т. 45, № 4. – С. 149–150.

26. Грицанс, А. С. О строении киллинговых f-многообразий / А. С. Грицанс // Известия вузов. Математика. – 1992. – № 6. – С. 49–57.

27. Gray, A. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants / A Gray, L. M. Hervella // Annali di Matematica Pura ed Applicata. – 1980. – Vol. 123. – P. 35–58. https://doi.org/10.1007/bf01796539

28. Gray, A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3 / A. Gray // Journal of Differential Geometry. – 1972. – Vol. 7, № 3–4. – P. 343–369. https://doi.org/10.4310/jdg/1214431159

29. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. – М.: Наука, 1981. – Т. 2. – 415 с.

30. Балащенко, В. В. Инвариантные f-структуры на естественно редуктивных однородных пространствах / В. В. Балащенко // Известия вузов. Математика. – 2008. – № 4. – С. 3–15.

31. Balashchenko, V. V. Invariant structures on the 6-dimensional generalized Heisenberg group / V. V. Balashchenko // Kragujevac Journal of Mathematics. – 2011. – Vol. 35, № 2. – P. 209–222.

32. Балащенко, В. В. Левоинвариантные f-структуры на 5-мерной группе Гейзенберга H(2,1) / В. В. Балащенко, П. А. Дубовик // Вестник БГУ. Серия 1. Математика и информатика. – 2013. – № 3. – С. 112–117.

33. Дубовик, П. А. Эрмитовы f-структуры на 6-мерных филиформных группах Ли / П. А. Дубовик // Известия вузов. Математика. – 2016. – № 7. – С. 34–43.

34. Мубаракзянов, Г. М. О разрешимых алгебрах Ли / Г. М. Мубаракзянов // Известия вузов. Математика. – 1963. – Т. 32, № 1. – С. 114–129.

35. Product structures on four dimensional solvable Lie algebras / A. Andrada, M. L. Barberis, I. G. Dotti, G. P. Ovando // Homology, Homotopy and Applications. – 2005. – Vol. 7, № 1. – P. 9–37. https://doi.org/10.4310/hha.2005.v7.n1.a2