Ортогональный полиномиальный многомерно-матричный регрессионный анализ

Исследуется ортогональный регрессионный анализ, связанный с представлением функции регрессии рядом Фурье по многомерно-матричным ортогональным полиномам, в противоположность обычному регрессионному анализу, когда функция регрессии аппроксимируется обычными полиномами (степенями независимой входной переменной). Будем различать классический регрессионный анализ, когда используются скалярный или, возможно, классический векторно-матричный математический подходы, и многомерно-матричный регрессионный анализ, когда используются многомерно-матричные переменные и многомерно-матричный математический подход. В статье разрабатывается ортогональный регрессионный анализ на основе ортогональных полиномов и многомерно-матричного математического подхода, так называемый ортогональный многомерно-матричный полиномиальный регрессионный анализ. Известные результаты теории ортогональных многомерно-матричных полиномов и рядов Фурье векторного аргумента обобщаются на случай многомерно-матричных аргумента и функции. Получены аналитические выражения коэффициентов ортогональных полиномов и рядов Фурье до второй степени для возможных аналитических исследований. Программно реализован общий случай аппроксимации многомерно-матричной функции многомерно-матричного аргумента рядами Фурье в виде единичной программной функции, и ее эффективность подтверждена компьютерными расчетами. Изучены свойства коэффициентов регрессии и неизвестных параметров и их распределения при нормальном распределении ошибок измерений с произвольной ковариационной матрицей для произвольных степеней аппроксимирующих полиномов. Полученные результаты позволяют проверять гипотезы и строить гиперпрямоугольные доверительные интервалы, относящиеся к функции регрессии. Теоретические результаты подтверждены компьютерным моделированием.

1. Seber G. A. F., Lee A. J. Linear Regression Analysis. John Wiley & Sons, 2012. 592 p. https://doi.org/10.1002/9780471722199

2. Draper N. R., Smith H. Applied Regression Analysis. John Wiley & Sons, 1998. 744 p. https://doi.org/10.1002/9781118625590

3. Mukha V. S. Multidimensional-matrix polynomial regression analysis. Estimations of the parameters. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2007, no. 1, pp. 45–51 (in Russian).

4. Mukha V. S. Multidimensional-matrix linear regression analysis: distributions and properties of the parameters. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2014, no. 2, pp. 71–81 (in Russian).

5. Hermite M. Sur Un Nouveau Développement en Série Des Fonctions. Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences, vol. 58. Paris, 1864, pp. 93–100, 266–273 (in France).

6. Appel P., Kampé de Fériet J. Fonctions Hypergéométriques et Hypersphériques: polynomes d’Hermite. GauthierVillars, 1926. 434 p.

7. Sirazhdinov S. H. To the theory of the multivariate Hermite polynomials. Izvestiya Instituta matematiki i mekhaniki Akademii nauk Uzbekskoi SSR [Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics of the Akademy of Sciences of the UzSSR], 1949, vol. 5, pp. 70–95 (in Russian).

8. Mysovskikh I. P. Interpolation Cubature Formulae. Moscow, Nauka Publ., 1981. 336 p. (in Russian).

9. Suetin P. K. Orthogonal Polynomials in Two Variables. Moscow, Nauka Publ., 1988. 384 p. (in Russian).

10. Dunkl C. F. , Yuan Xu. Orthogonal Polynomials of Several Variables. 2nd ed. Cambridge University Press, 2014. 450 p.

11. Sokolov N. P. Introduction to the Theory of Multidimensional Matrices. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1972. 176 p. (in Russian).

12. Mukha V. S. Analysis of the Multidimensional Data. Minsk, Technoprint Publ., 2004. 368 p. (in Russian).

13. Mukha V. S. Multidimensional-matrix approach to the theory of the orthogonal systems of the polynomials of the vector variable. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2001, no. 2, pp. 64–68 (in Russian).

14. Mukha V. S. Systems of the polynomials orthogonal with discrete weight. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2004, no. 1, pp. 69–73 (in Russian).

15. Mukha V. S. Fourier series for the multidimensional-matrix functions of the vector variable. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2024, vol. 60, no. 1, pp. 15–28 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-24302024-60-1-15-28

16. Mukha V. S. Bayesian multidimensional-matrix polynomial empirical regression. Control and Cybernetics, 2020, vol. 49, no. 3, pp. 291–315. https://doi.org/10.1007/s10559-007-0065-3

17. Mukha V. S. The best polynomial multidimensional-matrix regression. Cybernetics and System Analysis, 2007, vol. 43, no. 3, pp. 427–432. https://doi.org/10.1007/s10559-007-0065-3

18. Mukha V. S. multidimensional-matrix linear regression analysis: distributions and properties of the parameters. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2014, no. 2, pp. 71–81 (in Russian).

19. Rao C. R. Linear Statistical Inference and its Applications. John Wiley & Sons, Inc., 1973. 648 p. https://doi.org/10.1002/9780470316436

20. Mukha V. S., Korchits K. S. Horner scheme for multidimensional-matrix polynomials. Vychislitel’nye metody i programmirovanie = Numerical Methods and Programming, 2005, vol. 6, pp. 61–65 (in Russian).