РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСТРОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДВУКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Изучаются классические решения граничных задач для нестрого гиперболического уравнения четвертого порядка в случае двух независимых переменных c двукратными характеристиками. Под классическим решением понимается функция, которая определена во всех точках замыкания заданной области и имеет все классические производные, входящие в уравнение и условия задачи. Наличие классического решения, построенного в аналитическом виде, для уравнений высшего порядка представляет интерес для вычислительной математики при тестировании численных алгоритмов. Заметим, что корректная постановка смешанных задач для гиперболических уравнений зависит не только от количества характеристик, но и от их расположения. Оператор уравнения представляет собой композицию дифференциальных операторов первого порядка. Уравнение задается в полуполосе двух независимых переменных. На нижнем основании области задаются условия Коши, а на боковых границах – условия Дирихле и Неймана. Методом характеристик выписывается в аналитическом виде решение рассматриваемой задачи, доказывается единственность решений, а также показывается, при каких условиях линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами четвертого порядка представимо в виде рассматриваемого в статье нестрого гиперболического уравнения.

1. Корзюк, В. И. Смешанная задача для гиперболического уравнения четвертого порядка / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2004. – № 2. – С. 9–13.

2. Корзюк, В. И. Классические решения смешанных задач для одномерного биволнового уравнения / В. И. Корзюк, Н. В. Винь // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2016. – № 1. – С. 69–79.

3. Корзюк, В. И. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного биволнового уравнения / В. И. Корзюк, Нгуен Ван Винь // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2016. – № 3. – С. 16–29.

4. Korzyuk, V. I. Cauchy problem for some fourth-order nonstrictly hyperbolic equations / V. I. Korzyuk, N. V. Vinh // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. – 2016. – Vol. 7, № 5. – P. 869–879.

5. Korzyuk, V. I . Solution of the Cauchy problem for a hyperbolic equation with constant coefficients in the case of two independent variables / V. I. Korzyuk, I. S. Kozlovskaya // Differential equations. – 2012. – Vol. 48, № 5. – P. 1–10.