ОБ ОДНОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

Исследуется одно дифференциальное уравнение в частных производных шестого порядка на наличие свойства Пенлеве. Дифференциальные уравнения являются моделями разных физических процессов, таких как задачи о нелинейных волнах, процессов турбулентности, волн дрейфа в плазме и т. д. Широко используется гипотеза Абловица о том, что все редукции полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям со свойством Пенлеве. Свойство Пенлеве служит основой классификации и приведения к каноническому виду нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных подобно тому, как это свойство позволяет классифицировать обыкновенные дифференциальные уравнения. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных выше третьего порядка по свойству Пенлеве еще далека от своего завершения. Это связано с тем, что известные методы исследования дают в основном лишь необходимые условия наличия свойства Пенлеве. Для доказательства достаточности можно, например, свести исследуемое уравнение подходящей заменой к уравнению, наличие свойства Пенлеве для которого уже установлено. Поэтому особый интерес представляют методы, позволяющие строить уравнения, априори имеющие свойство Пенлеве. Во введении приводится известное в литературе определение свойства Пенлеве для дифференциального уравнения в частных производных, а также описание основного метода исследования – метода резонансов. В основной части исследована резонансная структура исследуемого уравнения, проверено выполнение необходимых условий наличия свойства Пенлеве. Для достижения поставленной цели решены задачи построения рядов, представляющих решение дифференциального уравнения в частных производных шестого порядка, которые содержат шесть произвольных функций. Доказана сходимость полученных рядов с помощью построения мажорантных рядов. Найдены слагаемые меньшего веса, при наличии которых для уравнения будет выполнено необходимое условие наличия свойства Пенлеве, а также подстановка, линеаризирующая полученное уравнение. Построены рациональные относительно функции φ решения по отрицательным резонансам.

1. Weiss, J. The Painleve property for partial differential equations / J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevale // J. Math. Phys. – 1983. – Vol. 24, № 3. – P. 522–526.

2. Cosgrove, С. Painleve classification of all semilinear partial differential equations of the second order. I. Hyperbolic equations in two independent variables / C. Cosgrove // Stud. Appl. Math. – 1993. – Vol. 89, № 1. – P. 1–61.

3. Мартынов, И. П. Аналитическая теория нелинейных уравнений и систем / И. П. Мартынов, Н. С. Березкина, В. А. Пронько. – Гродно: ГрГУ, 2009. – 395 с.

4. Exton, H. On non-linear ordinary differential equations with fixed critical points / H. Exton // Rendiconti di Matematica. – 1971. – Vol. 4, № 3. – P. 385–628.

5. Здунек, А. Г. О рациональных решениях дифференциальных уравнений / А. Г. Здунек, И. П. Мартынов, В. А. Пронько // Вестн. ГрГУ. Сер. 2. – 2000. – № 3. – С. 33–39.