Двойственность Хоу алгебры Хиггса – Хана для восьмимерного гармонического осциллятора
https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-216-224
Анатацыя
Рассмотрены два разных, но изоморфных представления одной алгебры в свете двойственности Хоу: алгебра Хиггса и алгебра Хана. Первая отвечает алгебре симметрии гармонического осциллятора на 2-сфере и полиномиально деформированной SU(2) алгебре, а вторая – кодирует биспектральные свойства одноименных ортогональных многочленов и выступает как алгебра симметрии Хартмана и некоторых других кольцевых потенциалов, а также сингулярного осциллятора в двух измерениях. Показана в явном виде реализация данной алгебры, с одной стороны, как коммутанта O(4) ⊕ O(4) подалгебры U(8) в осцилляторном представлении универсальной обертывающей алгебры U (u(8)) и, с другой стороны, как вложение дискретной версии алгебры Хана в двойное тензорное произведение SU(1,1) ⊗ SU(1,1). Эти две реализации отражают факт, что SU(1,1) и U(8) образуют двойственную пару в пространстве состояний гармонического осциллятора в восьми измерениях. В конце статьи кратко обсуждены дальнейшие возможные направления исследований для обобщения полученных результатов. Первое достаточно очевидно – это рассмотрение проблемы при увеличении или при любом значении N размерности гармонического осциллятора. Второе направление можно связать с анализом ситуации для N-тензорного произведения SU(1,1)⊗N. Еще одним интересным аспектом данной проблемы может быть исследование q-обобщения SU(1,1).
Аб аўтарах
А. Лаврёнов
Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка
Беларусь
Беларусь
И. Лаврёнов
ООО «Октонион технолоджи»
Беларусь
Беларусь
Спіс літаратуры
1. Грановский, Я. И. Точно решаемые задачи и их квадратичные алгебры / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов. – Донецк: ДонФТИ, 1989. – 40 с. – (Препринт / Донец. физ.-тех. ин-т; ДонФТИ-89-7).
2. Жеданов, А. С. Скрытая симметрия полиномов Аски – Вильсона / А. С. Жеданов // теорет. и мат. физика. – 1991. – т. 89, № 2. – С. 190–204.
3. Грановский, Я. И. Квадратичная алгебра и динамическая симметрия уравнения Шредингера / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // ЖЭТФ. – 1991. – т. 99, № 2. – С. 353–361.
4. Granovskii, Y. I. Mutual integrability, quadratic algebras, and dynamical symmetry / Y. I. Granovskii, I. M. Lutsenko, A. S. Zhedanov // Ann. Phys. – 1992. – Vol. 217, № 1. – P. 1–20. https://doi.org/10.1016/0003-4916(92)90336-k
5. Луценко, И. M. Об алгебре Якоби и порождаемых ею потенциалах / И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – 1992. – т. 93, № 1. – С. 3–16.
6. Higgs, P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I / P. W. Higgs // J. Phys. A: Math. General. – 1979. – Vol. 12, № 3. – P. 309–323. ttps://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006
7. Leemon, H. I. Dynamical symmetries in a spherical geometry. II / H. I. Leemon // J. Phys. A: Math. General. – 1979. – Vol. 12, № 4. – P. 489–501. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/4/009
8. Курочкин, Ю. А. Аналог вектора Рунге – ленца и спектр энергий в задаче Кеплера на трехмерной сфере / Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. акад. наук БССР. – 1979. – T. 23, № 11. – С. 987–990.
9. Богуш, А. А. О квантовомеханической задаче Кеплера в пространстве лобачевского / А. А. Богуш, Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. акад. наук БССР. – 1980.– т. 24, № 1. – С. 19–22.
10. Bogush, A. A. Algebra of conserved operators for the Kepler – Coulomb problem in the spaces of constant curvature / A. A. Bogush, Yu. A. Kurochkin, V. S. Otchik // Physics of Atomic Nuclei. – 1998. – Vol. 61, № 10. – P. 1778–1781.
11. Gritsev, V. V. The Higgs algebra and the Kepler problem in R 3 / V. V. Gritsev, Y. A. Kurochkin // J. Phys. A: Math. General. – 2000. – Vol. 33, № 22. – P. 4073–4080. https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/22/310
12. Gritsev, V. V. Nonlinear symmetry algebra of the MIC-Kepler problem on the sphere S 3 / V. V. Gritsev, Y. A. Kurochkin, V. S. Otchik // J. Phys. A: Math. General. – 2000. – Vol. 33, № 27. – P. 4903–4910. https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/27/307
13. Granovskii, Y. I. Quadratic algebra as a ‘hidden’ symmetry of the Hartmann potential / Y. I. Granovskii, I. M. Lutsenko, A. S. Zhedanov // J. Phys. A: Math. General. – 1991. – Vol. 24, № 16. – P. 3887–3894. ttps://doi.org/10.1088/0305-4470/24/16/024
14. Zhedanov, A. S. Hidden symmetry algebra and overlap coefficients for two ring-shaped potentials / A. S. Zhedanov // J. Phys. A: Math. General. – 1993. – Vol. 26, № 18. – P. 4633–4642. https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/18/027
15. Gal’bert, O. F. Dynamical symmetry of anisotropic singular oscillator / O. F. Gal’bert, Y. I. Granovskii, A. S. Zhedanov // Phys. Lett. A. – 1991. – Vol. 153, № 4/5. – P. 177–180. https://doi.org/10.1016/0375-9601(91)90789-b
16. Грановский, Я. И. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – 1992. – т. 91, № 2. – С. 207–216.
17. Грановский, Я. И. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. II. Проблема Кеплера / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – – 1992. – т. 91, № 3. – С. 396–410.
18. The Higgs and Hahn algebras from a Howe duality perspective / L. Frappat [et al.] // Physics Letters A. – 2019. – Vol. 383, №. 14. – P. 1531–1535. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2019.02.024
19. Bellucci, S. The second Hopf map and Yang-Coulomb system on a 5D (pseudo)sphere / S. Bellucci, J. Toppan, V. Yeghikyan // J. Phys. A: Math. General. – 2010. – Vol. 43, № 4. – P. 045205. https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/4/045205
20. Generalized KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional isotropic oscillator / Davtyan, L. S., [et al.] // J. Phys. A: Math. General. – 1987. – Vol. 20, № 17. – P. 6121–6126. https://doi.org/10.1088/0305-4470/20/17/044
21. Mardoyan, L. G. 8D oscillator as a hidden SU(2)-monopole / L. G. Mardoyan, A. N. Sissakian, V. M. Ter-Antonyan. – Dubna: JINR, 1998. – 14 p. – (Preprint / Joint Institute for Nuclear Research; E2-98-14).
22. Mardoyan, L. G. Hidden symmetry of the Yang-Coulomb system / L. G. Mardoyan, A. N. Sissakian, V. M. TerAntonyan // Mod. Phys. Lett. A. – 1999. – Vol. 14, № 19. – P. 1303–1307. https://doi.org/10.1142/s0217732399001395
23. Mardoyan, L. G. Dyon-oscillator duality. Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole / L. G. Mardoyan // Superintegrability in Classical and Quantum Systems. – 2004. – Vol. 37. – P. 99–108. https://doi.org/10.1090/crmp/037/09
24. Marquette, I. Generalized five-dimensional Kepler system, Yang-Coulomb monopole, and Hurwitz transformation / I. Marquette // J. Math. Phys. – 2012. – Vol. 53, № 2. – P. 022103–12. https://doi.org/10.1063/1.3684955
25. Pletyukhov, M. V. 8D oscillator and 5D Kepler problem: The case of nontrivial constraints / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // J. Math. Phys. – 1999. – Vol. 40, № 1. – P. 93–100. https://doi.org/10.1063/1.532761
26. Pletyukhov, M. V. Hurwitz transformation and oscillator representation of a 5D isospin particle / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // Rep. Math. Phys. – 1999. – Vol. 43, № 1/2. – P. 303–311. https://doi.org/10.1016/s0034-4877(99)80039-1
27. Pletyukhov, M. V. SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // J. Phys. A: Math. General. – 1999. – Vol. 32, № 23. – P. L249–L253. https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/23/101
28. The generalized Racah algebra as a commutant / J. Gaboriaud [et al.] // J. Phys.: Conf. Ser. – 2019. – Vol. 1194. – P. 012034. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1194/1/012034
29. The Racah algebra as a commutant and Howe duality / J. Gaboriaud [et al.] // J. Phys. A: Math. Theor. – 2018. – Vol. 51, № 50. – P. 50LT01. https://doi.org/10.1088/1751-8121/aaee1a
30. Howe, R. Remarks on Classical Invariant Theory / R. Howe // Trans. Am. Math. Soc. – 1989. – Vol. 313, № 2. – P. 539–570. https://doi.org/10.2307/2001418
31. Dual pairing of symmetry and dynamical groups in physics / D. J. Rowe [et al.] // Rev. Modern Phys. – 2012. – Vol. 84, № 2. – P. 711–757. https://doi.org/10.1103/revmodphys.84.711
##reviewer.review.form##
Праглядаў: 1007
Паслаць артыкул па эл. пошце 