Стохастические дифференциальные уравнения смешанного типа со стандартными и дробными броуновскими движениями с индексами Херста, большими 1/3
https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-36-50
Аннотация
Для стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых стандартными и дробными броуновскими движениями с индексами Херста, большими 1/3, доказаны теоремы о существовании, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных. Для таких уравнений получен аналог формулы Ито замены переменных. Найдены асимптотические разложения функционалов от решений стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа при малых значениях времени. В коммутативном случае получены аналоги дифференциальных уравнений Колмогорова для математических ожиданий и плотностей распределений решений. Рассматривается приложение стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа к решению проблемы экстраполяции макроэкономических факторов при моделировании кредитных рисков.
Об авторе
М. М. Васьковский
Белорусский государственный университет
Беларусь
Беларусь
Васьковский Максим Михайлович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики
пр. Независимости, 4, 220072, г. МинскСписок литературы
1. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications / F. Biagini [et al.]. – London: Springer-Verlag, 2008. – 330 p. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-797-8
2. Cheridito, P. Regularizing fractional Brownian motion with a view towards stock price modeling: a dissertation ... doctor of mathematics / P. Cheridito. – Zurich, 2001. – 121 p.
3. Zahle, M. Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus. I / M. Zahle // Probability Theory and Related Fields. – 1998. – Vol. 111, № 3. – P. 333–374. https://doi.org/10.1007/s004400050171
4. Mishura, Y. S. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related processes / Y. S. Mishura. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – 398 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-75873-0
5. Kleptsyna, M. L. General approach to filtering with fractional Brownian noises application to linear systems / M. L. Kleptsyna, A. Le Breton, M.-C. Roubaud // Stochastics and Stochastic Reports. – 2000. – Vol. 71, № 1/2. – P. 119–140. https://doi.org/10.1080/17442500008834261
6. Vaskouski, M. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3 / M. Vaskouski, I. Kachan // Stochastic Anal. Appl. – 2018. – Vol. 36, № 6. – P. 909–931. https://doi.org/10.1080/07362994.2018.1483247
7. Kubilius, K. The existence and uniqueness of the solution of an integral equation driven by a p-semimartingale of special type / K. Kubilius // Stochastic Processes and their Appl. – 2002. – Vol. 98, № 2. – P. 289–315. https://doi.org/10.1016/s0304-4149(01)00145-4
8. Guerra, J. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard Brownian motion / J. Guerra, D. Nualart // Stochastic Anal. Appl. – 2008. – Vol. 26, № 5. – P. 1053–1075. https://doi.org/10.1080/07362990802286483
9. Mishura, Y. S. Existence and uniqueness of the solution of stochastic differential equation involving Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst index H > 1/2 / Y. S. Mishura, G. M. Shevchenko // Communications in Statistics – Theory and Methods. – 2011. – Vol. 40, № 19/20. – P. 3492–3508. https://doi.org/10.1080/03610926.2011.581174
10. Shevchenko, G. M. Mixed stochastic delay differential equations / G. M. Shevchenko // Theory of Probability and Mathematical Statistics. – 2014. – Vol. 89. – P. 181–195. https://doi.org/10.1090/s0094-9000-2015-00944-3
11. Леваков, А. А. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями и с разрывными коэффициентами / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 2. – C. 187–200.
12. Леваков, А. А. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями, с разрывными коэффициентами и с частично вырожденным оператором диффузии / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – C. 1060–1076.
13. Васьковский, М. М. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2015. – № 1. – С. 22–34.
14. Леваков, А. А. Существование решений стохастических дифференциальных включений со стандартным и дробным броуновскими движениями / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2015. – Т. 51, № 8. – C. 997–1003.
15. Леваков, А. А. Свойства решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2016. – Т. 52, № 8. – C. 1011–1019.
16. Васьковский, М. М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 2. – С. 160–173.
17. Васьковский, М. М. Методы интегрирования стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениями / М. М. Васьковский, И. В. Качан // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – T. 55, № 2. – С. 135–151. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-135-151
18. Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения и включения / А. А. Леваков, М. М. Васьковский. – Минск: БГУ, 2019. – 495 с.
19. Lyons, T. Differential equations driven by rough signals / T. Lyons // Revista Matematica Iberoamericana. – 1998. – Vol. 14, № 2. – P. 215–310. https://doi.org/10.4171/rmi/240
20. Gubinelli, M. Controlling rough paths / M. Gubinelli // J. Functional Anal. – 2004. – Vol. 216, № 1. – P. 86–140. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2004.01.002
21. Friz, P. A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures / P. Friz, M. Hairer. – Cham: Springer Int. Publ. AG, 2014. – 262 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-08332-2
22. Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic differential equations / A. Neuenkirch [et al.] // Annales de I Institut Henri Poincaré (B) Probability and Statistics. – 2009. – Vol. 45, № 1. – P. 157–174. https://doi.org/10.1214/07-aihp159
23. Coutin, L. Stochastic analysis, rough path analysis and fractional Brownian motions / L. Coutin, Z. Qian // Probability Theory Related Fields. – 2002. – Vol. 122, № 1. – P. 108–140. https://doi.org/10.1007/s004400100158
24. Breeden, J. L. Living with CECL: Mortgage modeling alternatives / J. L. Breeden. – Middletown, 2018. – 203 p.
Рецензия
Просмотров: 1288
Послать статью по эл. почте 