Достаточное условие неразрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с диагональным усреднением матрицы коэффициентов

Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Ставится следующая задача: выбрать такое управление из допустимого множества, чтобы у замкнутой управлением системы появились почти периодические решения, спектр частот (множество показателей Фурье) которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей управления спектром нерегулярных колебаний (асинхронным спектром) с целевым множеством частот. К настоящему времени она изучена только в весьма частном случае, когда среднее значение почти периодической матрицы коэффициентов системы является нулевым. В случае же ненулевого усреднения вопрос остается открытым. В работе получено достаточное условие, при выполнении которого задача управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с диагональным усреднением матрицы коэффициентов не имеет решения.

почти периодические линейные системы управления, диагональное среднее значение, показатели Фурье, сильно нерегулярные колебания, асинхронный спектр

1. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. – М.: Наука, 1968. – 476 с.

2. Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. – М.: Наука, 1975. – 495 с.

3. Тонков, Е. Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями / Е. Л. Тонков // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 6. – С. 1007–1011.

4. Иванов, А. Г. Оптимальное управление почти периодическими движениями / А. Г. Иванов // Приклад. математика и механика. – 1992. – Т. 56, вып. 5. – С. 837–846.

5. Гайшун, И. В. Введение в теорию нестационарных линейных систем / И. В. Гайшун. – Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 1999. – 408 c.

6. Иванов, А. Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I / А. Г. Иванов // Изв. Ин-та математики и информатики Удм. гос. Ун-та. – 2002. – Вып. 1. – С. 3–100.

7. Попова, С. Н. Управление асимптотическими инвариантами систем с почти периодическими коэффициентами / С. Н. Попова // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. – 2008. – Вып. 2. – С. 1–2.

8. Макаров, Е. К. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова. – Минск: Бел. навука, 2012. – 407 с.

9. Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехосл. мат. журн. – 1955. – Т. 5, № 3.– С. 362–370.

10. Папалекси, Н. Д. Об одном случае параметрически связанных систем / Н. Д. Папалекси // Изв. Акад. наук СССР. Сер. физ. – 1939. – Т. 1. – С. 373–379.

11. Деменчук, А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний / А. К. Деменчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 4. – С. 37–42.

12. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных квазипериодических систем с тривиальным усреднением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 2.– С. 281–283.

13. Левитан, Б. М. Почти периодические функции / Б. М. Левитан. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.

14. Деменчук, А. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управление / А. Деменчук. – Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2012. – 186 с.

15. Деменчук, А. К. Необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Вес. Нац. Акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 2. – C. 176–181. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-176-181