Субдифференцируемость функций, выпуклых относительно множества липшицевых вогнутых функций

Функция, определенная на нормированном пространстве X, называется выпуклой относительно множества LĈ := LĈ (X,R ) липшицевых классически вогнутых функций (далее для краткости – LĈ -выпуклой), если она является верхней огибающей некоторого подмножества функций из LĈ. Функция является LĈ –выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. В статье вводится понятие LĈ -субдифференцируемости функции в точке, т. е. субдифференцируемости относительно липшицевых вогнутых функций, обобщающее понятие субдифференцируемости классически выпуклых функций, и доказывается, что для любой LĈ -выпуклой функции множество точек, в которых она является LĈ -субдифференцируемой, является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда – Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций. Используя элементы подмножества LĈ _θ ⊂ LĈ , состоящего из таких липшицевых вогнутых функций, которые принимают нулевое значение в нулевой точке пространства X, определяются понятия LĈ _θ LĈ -субградиента и LĈ _θ  -субдифференциала функции в точке. Исследуются свойства LĈ _θ -субдифференциалов и их связь с классическим субдифференциалом Фенхеля – Рокафеллара. Рассматривая в качестве элементарных функций множество LČ := LČ (X,R ) липшицевых выпуклых (в классическом смысле) функций, вводятся симметричные LĈ -выпуклости и LĈ -субдифференцируемости понятия LČ -вогнутости и LČ -супердифференцируемости функций. В терминах LĈ_θ –субдифференциалов и LČ_θ -супердифференциалов устанавливаются критерии для точек глобального минимума и максимума функций.

1. Кутателадзе, С. С. Двойственность Минковского и ее приложения / С. С. Кутателадзе, А. М. Рубинов // Успехи мат. наук. – 1972. – Т. 27, вып. 3 (165). – С. 127–176.

2. Кутателадзе, С. С. Двойственность Минковского и ее приложения / С. С. Кутателадзе, А. М. Рубинов. – Новосибирск: Наука, 1976. – 254 с.

3. Dolecki, S. On Φ-convexity in extremal problems / S. Dolecki, S. Kurcyusz // SIAM J. Control Optim. – 1978. – Vol. 16, № 2. – P. 277–300. https://doi.org/10.1137/0316018

4. Pallaschke, D. Foundations of Mathematical Optimization (Convex analysis without linearity) / D. Pallaschke, S. Rolewicz. – Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1997. – 596 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1588-1

5. Singer, I. Abstract Convex Analysis / I. Singer. – New York: Wiley-Interscience Publ., 1997. – 491 p.

6. Rubinov, A. M. Abstract Convexity and Global Optimization / A. M. Rubinov. – Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 2000. – 490 р. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3200-9_9

7. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. – М.: Мир, 1979. – 399 с.

8. Rubinov, A. M. Abstract Convexity, Global Optimization and Data Classification / A. M. Rubinov // OPSEARCH. – 2001. – Vol. 38, № 3. – P. 247–265. https://doi.org/10.1007/BF03398635

9. Ioffe, A. D. Abstract convexity and non-smooth analysis / A. D. Ioffe // Adv. Math. Econ. – 2001. – Vol. 3. – P. 45–61. https://doi.org/10.1007/978-4-431-67891-5_2

10. Burachik, R. S. Abstract convexity and augmented Lagrangians / R. S. Burachik, A. M. Rubinov // SIAM J. on Optim. – 2007. – Vol. 18, № 2. – P. 413–436. https://doi.org/10.1137/050647621

11. Bednarczuk, E. M. Minimax theorems for φ-convex functions with applications / E. M. Bednarczuk, M. Syga // Control and Cybernetics. – 2014. – Vol. 43, № 3. – P. 421–437.

12. Zero duality gap conditions via abstract convexity / H. T. Bui [et al.] // Optimization. – 2021. – 37 p. https://doi.org/10.1080/02331934.2021.1910694

13. Gorokhovik, V. V. Minimal convex majorants of functions and Demyanov-Rubinov exhaustive super(sub)differentials / V. V. Gorokhovik // Optimization. J. Math. Program. Oper. Res. – 2019. – Vol. 68, № 10. – P. 1933–1961. https://doi.org/10.1080/02331934.2018.1518446

14. Гороховик, В. В. Опорные точки полунепрерывных снизу функций относительно множества липшицевых вогнутых функций / В. В. Гороховик, А. С. Тыкун // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 6. – С. 647–653. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-6-647-653

15. Гороховик, В. В. Абстрактная выпуклость функций относительно множества липшицевых (вогнутых) функций / В. В. Гороховик, А. С. Тыкун // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2019. – Т. 25, № 3. – С. 73–85. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-3-73-85

16. Gorokhovik, V. V. Abstract convexity of functions with respect to the set of Lipschitz (concave) functions / V. V. Gorokhovik, A. S. Tykoun // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. – 2020. – Vol. 309, suppl. 1. – P. S36– S46. https://doi.org/10.1134/S0081543820040057

17. Brondsted, A. On the subdifferentiability of convex functions / A. Brondsted, T. R. Rockafellar // Proc. Am. Math. Soc. – 1965. – Vol. 16, № 4. – P. 605–611. https://doi.org/10.2307/2033889

18. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. – М.: Мир, 1973. – 469 с.

19. Martin, R. H. Nonlinear operators and differential equations in Banach spaces / R. H. Martin. – New York: Wiley, 1976. – 455 p. https://doi.org/10.1007/978-04-715-7363-0

20. Borwein, J. M. Convex functions: constructions, characterizations and counterexamples / J. M. Borwein, J. D. Vande rwerff. – Cambridge University Press, 2010. – 521 p. https://doi.org/10.1017/CBO9781139087322

21. Kruger, A. Y. On Fréchet subdifferentials / A. Y. Kruger // J. Math. Sci. – Vol. 116, № 3. – 2003. – P. 3325–3358. https://doi.org/10.1023/a:1023673105317