Робастная стабилизируемость и стабилизация трехтемповых линейных стационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием

Целью работы является получение условий стабилизируемости и построение композитной стабилизирующей обратной связи по состоянию для трехтемповых линейных стационарных сингулярно возмущенных систем с кратными соизмеримыми запаздываниями в медленных переменных состояния и с двумя малыми параметрами при части старших производных (ТСВЛССЗ). Условия стабилизируемости и стабилизирующая обратная связь не зависят от малых параметров и действительны для всех их достаточно малых значений. Применяемый в работе подход использует невырожденное преобразование, которое полностью расщепляет зависящую от двух малых параметров сингулярно возмущенную систему на три регулярно зависящие от параметров подсистемы меньших размерностей, чем исходная система, которые аппроксимируются подсистемами, не зависящими от малых параметров. Доказано, что стабилизируемость аппроксимирующих подсистем гарантирует робастную (по малым параметрам) стабилизируемость исходной ТСВЛССЗ. Получено представление не зависящего от параметра композитного управления с обратной связью для ТСВЛССЗ, стабилизирующего ее при всех достаточно малых значениях параметров. Приведен численный пример. 

1. Dmitriev M. G., Kurina G. A. Singular perturbations in control problems. Automation and Remote Control, 2006, vol. 67, no. 1, pp. 1–43. https://doi.org/10.1134/S0005117906010012

2. Vasil’eva A. B., Dmitriev M. G. Singular perturbations in optimal control problems. Journal of Soviet Mathematics, 1986, vol. 34, no 3. pp. 1579–1629 (in Russia). https://doi.org/10.1007/BF01262406

3. Zhang Y., Naidu D. S., Cai C., Zou Y. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: An overview, 2002–2012. International Journal of Information and Systems Sciences, 2014, vol. 9, no. 1, pp. 1–36.

4. Kokotovic P. V., Khalil H. K., O’Reilly J. Singular perturbation methods in control: analysis and design. Academic Press, 1986, pp. 1–9.

5. Reddy P. B., Sannuti P. Optimal control of singularly perturbed time delay systems with an application to a coupled core nuclear reactor. IEEE Conference on Decision and Control including the 13th Symposium on Adaptive Processes, 1974, pp. 793–803. https://doi.org/10.1109/CDC.1974.270543

6. Krasovskii N. N. Stabilization of dynamical systems by additional forces. Differential Equations, 1965, vol. 1, no 1, pp. 5–16 (in Russian)

7. Osipov Yu. S. On the stabilization of control systems with delay. Differential Equations, 1965, vol. 1, no 5, pp. 605–618 (in Russian).

8. Gabelaya A. G., Ivanenko V. I., Odarich O. N. Stabilizability of linear autonomous systems with delay. Automation and Remote Control, 1976, vol. 37, no 8, pp. 1145–1150.

9. Loiseau J. J. Algebraic tools for the control and stabilization of time-delay systems. Annual Reviews in Control, 2000, vol. 24, pp. 135–149. https://doi.org/10.1016/s1367-5788(00)90027-0

10. Glizer V. Y. Stability and stabilization of one class of three time-scale systems with delays. Kybernetika, 2022, vol. 58,no. 4, pp. 593–625. https://doi.org/10.14736/kyb-2022-4-0593

11. Glizer V. Y. Stabilizability conditions for one class of linear singularly perturbed differential-difference Systems. IEEE 15th International Conference on Control and Automation (ICCA), 2019, pp. 1167–1172. https://doi.org/ 10.1109/ICCA.2019.8899752

12. Kopeikina T. B. On the problem of stabilization of linear singularly perturbed systems with delay. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 1998, vol. 42. no. 3. pp. 22–27 (in Russia).

13. Kopeikina T. B. On stabilizability of linear singularly perturbed systems with delay. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2001, vol. 7, pp. 79–87 (in Russia).

14. Pawluszewicz E., Tsekhan O. B. Stability and stabilizability of the singularly perturbed system with delay on time scales: a decomposition approach. International Journal of Control, 2021, vol. 94, no. 9, pp. 2406–2419. https://doi.org/10.1080/00207179.2021.1913289

15. Chang K. W. Singular perturbations of a general boundary value problem. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1972, vol. 3, no. 3, pp. 520–526. https://doi.org/10.1137/0503050

16. Ladde G. S., Rajalakshmi S. G. Diagonalization and stability of multi-time-scale singularly perturbed linear systems. Applied Mathematics and Computation, 1985, vol. 16, no. 2, pp. 115–140. https://doi.org/10.1016/0096-3003(85)900037

17. Abed E. Decomposition and stability for multiparameter singular perturbation problems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1986, vol. 31, no. 10, pp. 925–934. https://doi.org/10.1109/TAC.1986.1104130

18. Naligama C. A., Tsekhan O. B. Decoupling of three-time-scale linear time-invariant singularly perturbed Control system with state delay based on a non-degenerate transformation. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchalʼnaya tekhnіka і kіravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and Сontrol, 2021, vol. 11, no. 3, pp. 27–36.

19. Naligama C. A., Tsekhan O. B. Asymptotic approximations validity boundaries for decoupling transformation of three-time-scale linear time-invariant singularly perturbed systems with delay. Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2022, vol. 2, no. 2, pp. 83–93. https://doi.org/10.54341/20778708_2022_2_51_83

20. Naligama C. A., Tsekhan O. B. On the Stability of Three-time-scale Linear Time-invariant Singularly Perturbed Systems with State Delay. Dynamic Control and Optimization. DCO 2021, Aveiro, Portugal, February 3–5, Selected, Revised Contributions. Springer Cham, 2022. Vol. 407, pp. 141–159 https://doi.org/10.54341/20778708_2022_2_51_83

21. Glizer V. Y. Singularly Perturbed Linear Time Delay Systems. Systems & Control: Foundations & Applications. Birkhauser, 2021, pp. 21–110. https://doi.org/10.1007/978-3-030-65951-6_2