О модулярности решетки бэровских σ-локальных формаций

Все рассматриваемые группы конечны. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и подпрямых произведений. Символом σ обозначают некоторое разбиение множества всех простых чисел. В работе В. Г. Сафонова, И. Н. Сафоновой, А. Н. Скибы (Commun. Algebra. 2020. Vol. 48, № 9. P. 4002–4012) определена обобщенная формационная σ-функция как отображение f : σ È {Ø} → {формации групп}, где f(Ø) ≠ ∅. При помощи обобщенной формационной σ-функции определены обобщенно локальные формации – так называемые бэровские σ-локальные формации. Множество всех таких формаций образует решетку по включению. В настоящей работе установлены свойства алгебраичности и модулярности этой решетки.

1. Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. – 272 с.

2. Шеметков, Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба. – М.: Наука, Гл. ред. физ.мат. лит., 1989. – 256 с.

3. Скиба, А. Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба. – Минск: Беларус. навука, 1997. – 240 с.

4. Скиба, А. Н. Кратно L-композиционные формации конечных групп / А. Н. Скиба, Л. А. Шеметков // Укр. мат. журн. – 2000. – Т. 52, № 6. – С. 783–797. https://doi.org/10.1007/BF02591784

5. Чжан Чи. О -замкнутых классах конечных групп / Чжан Чи, А. Н. Скиба // Укр. мат. журн. – 2018. – Т. 70, № 12. – С. 1707–1716. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01619-6

6. Zhang Chi. On n-multiply σ-local formations of finite groups / Zhang Chi, V. G. Safonov, A. N. Skiba // Commun. Algebra. – 2019. – Vol. 47, № 3. – P. 957–968. https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1498875

7. Safonov, V. G. On Baer-σ-local formations of finite groups / V. G. Safonov, I. N. Safonova, A. N. Skiba // Commun. Algebra. – 2020. – Vol. 48, № 9. – P. 4002–4012. https://doi.org/10.1080/00927872.2020.1753760

8. Skiba, A. N. On σ-subnormal and σ-permutable subgroups of finite groups / A. N. Skiba // J. Algebra. – 2015. – Vol. 436. – P. 1–16. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.010

9. Safonov, V. G. On one generalization of σ-local and Baer-local formations / V. G. Safonov, I. N. Safonova, A. N. Skiba // Проблемы физики, математики и техники. – 2019. – № 4 (41). – С. 65–69.

10. Skiba, A. N. Some characterizations of finite σ-soluble PσT-groups / A. N. Skiba // J. Algebra. – 2018. – Vol. 495. – P. 114–129. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.11.009

11. Skiba, A. N. On sublattices of the subgroup lattice defined by formation Fitting sets / A. N. Skiba // J. Algebra. – 2020. – Vol. 550. – P. 69–85. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.12.013

12. Общая алгебра: в 2 т. / В. А. Артамонов [и др.]; под общ. ред. Л. А. Скорнякова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – Т. 2. – 480 с.

13. Скиба, А. Н. О локальных формациях длины 5 / А. Н. Скиба // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп: тр. Гомел. семинара / Ин-т математики АН БССР; под ред. М. И. Салука. – Минск: Наука и техника, 1986. – С. 135–149.

14. Скиба, А. Н. Кратно w-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп / А. Н. Скиба, Л. А. Шеметков // Мат. тр. – 1999. – Т. 2, № 2. – С. 114–147.

15. Воробьев, Н. Н. Алгебра классов конечных групп: монография / Н. Н. Воробьев. – Витебск: ВГУ им. П. М. Машерова, 2012. – 322 с.

16. Ballester-Bolinches, A. On lattices of p-local formations of finite groups / A. Ballester-Bolinches, L. A. Shemetkov // Math. Nachr. – 1997. – Vol. 186. – P. 57–65. https://doi.org/10.1002/mana.3211860103

17. Safonov, V. G. On a question of the theory of totally saturated formations of finite groups / V. G. Safonov // Algebra Colloq. – 2008. – Vol. 15, № 1. – P. 119–128. https://doi.org/10.1142/S1005386708000126

18. Safonov, V. G. On modularity of the lattice of totally saturated formations of finite groups / V. G. Safonov // Commun. Algebra. – 2007. – Vol. 35, № 11. – P. 3495–3502. https://doi.org/10.1080/00927870701509354

19. Шабалина, И. П. О решетке t-замкнутых n-кратно w-локальных формаций конечных групп / И. П. Шабалина // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2003. – № 1. – С. 28–30.

20. Щербина, В. В. О подрешетках решетки частично тотально насыщенных формаций конечных групп / В. В. Щер бина, В. Г. Сафонов // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. – 2019. – Т. 51, № 1. – С. 64–87. https://doi.org/10.18413/2075-4639-2019-51-1-64-87

21. Щербина, В. В. О некоторых свойствах решетки частично тотально насыщенных формаций конечных групп / В. В. Щербина, В. Г. Сафонов // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. – 2019. – Т. 51, № 2. – С. 227–244. https://doi.org/10.18413/2075-4639-2019-51-2-227-244

22. Shemetkov, L. A. On lattices of formations of finite groups / L. A. Shemetkov, A. N. Skiba, N. N. Vorobʼev // Algebra Colloq. – 2010. – Vol. 17, № 4. – P. 557–564. https://doi.org/10.1142/S1005386710000532

23. Shemetkov, L. A. On laws of lattices of partially saturated formations / L. A. Shemetkov, A. N. Skiba, N. N. Vorobʼev // Asian-Eur. J. Math. – 2009. – Vol. 02, № 01. – P. 155–169. https://doi.org/10.1142/S1793557109000133

24. Tsarev, A. A. On the lattice of all totally composition formations of finite groups / A. A. Tsarev // Ric. Mat. – 2019. – Vol. 68, № 2. – P. 693–698. https://doi.org/10.1007/s11587-019-00433-3

25. Tsarev, A. A. Lattices of composition formations of finite groups and laws / A. A. Tsarev, N. N. Vorobʼev // J. Algebra Appl. – 2018. – Vol. 17, № 05. – P. 1850084-1–1850084-17. https://doi.org/10.1142/S0219498818500846

26. Tsarev, A. A. On a question of the theory of partially composition formations / A. A. Tsarev, N. N. Vorobʼev // Algebra Colloq. – 2014. – Vol. 21, № 3. – P. 437–447. https://doi.org/10.1142/S1005386714000388

27. Воробьев, Н. Н. Тождества решеток частично композиционных формаций / Н. Н. Воробьев, А. Н. Скиба, А. А. Царев // Сиб. мат. журн. – 2011. – Т. 52, № 5. – С. 1011–1024. https://doi.org/10.1134/S0037446611050059

28. Воробьев, Н. Н. О модулярности решетки t-замкнутых n-кратно w-композиционных формаций / Н. Н. Воробьев, А. А. Царев // Укр. мат. журн. – 2010. – Т. 62, № 4. – С. 453–463. https://doi.org/10.1007/s11253-010-0368-9

29. Жизневский, П. А. О модулярности и индуктивности решетки всех t-замкнутых n-кратно w-композиционных формаций конечных групп / П. А. Жизневский // Изв. Гомел. гос. ун-та им. Ф. Скорины. – 2010. – № 1 (58). – С. 185–191.

30. Tsarev, A. A. Algebraic lattices of partially saturated formations of finite groups / A. A. Tsarev // Afr. Mat. – 2020. – Vol. 31, № 3–4. – P. 701–707. https://doi.org/10.1007/s13370-019-00753-5

31. Сафонов, В. Г. Об алгебраичности решетки t-замкнутых тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Алгебра и логика. – 2006. – Т. 45, № 5. – С. 620–626. https://doi.org/10.1007/s10469-006-0032-5

32. Шабалина, И. П. Алгебраичность решетки t-замкнутых n-кратно w-локальных формаций / И. П. Шабалина // Изв. Гомел. гос. ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры – 18. – 2002. – № 5 (14). – С. 59–67.

33. Щербина, В. В. Алгебраичность решетки t-замкнутых тотально w-насыщенных формаций конечных групп / В. В. Щербина // Уфим. мат. журн. – 2020. – Vol. 12, № 1. – С. 83–91. https://doi.org/10.13108/2020-12-1-82

34. Tsarev, A. A. Algebraic lattices of solvably saturated formations and their applications / A. A. Tsarev, A. V. Kukharev // Bol. Soc. Mat. Mex. – 2020. – Vol. 26, № 3. – P. 1003–1014. https://doi.org/10.1007/s40590-020-00290-3

35. Щербина, В. В. О двух задачах теории частично тотально композиционных формаций конечных групп / В. В. Щербина // Приклад. математика & физика. – 2020. – Т. 52, № 1. – С. 18–32. https://doi.org/10.18413/2687-09592020-52-1-18-32

36. Воробьев, Н. Н. О наименьшем задании бэровской формации / Н. Н. Воробьев, А. В. Чечуев // Весн. Вiцеб. дзярж. ун-та. – 2022. – № 3 (116). – С. 15–18.

37. Skiba, A. N. On the lattices of saturated and solubly saturated formations of finite groups / A. N. Skiba, N. N. Vorob’ev // Southeast Asian Bull. Math. – 2013. – Vol. 37, № 5. – P. 771–780.