Вещественная автономная квадратичная система трех дифференциальных уравнений с бесконечным числом предельных циклов

Рассматривается задача построения вещественных автономных квадратичных систем трех дифференциальных уравнений с нелокальным существованием бесконечного числа предельных циклов. Имеется в виду, что бесконечное число предельных циклов, появившись из фокуса за счет бифуркации Андронова – Хопфа, может существовать в фазовом пространстве не только в окрестности фокуса и не только для значений параметра, близких к бифуркационному значению. Для решения поставленной задачи применяется способ нахождения предельных циклов как линий пересечения инвариантной плоскости с семейством инвариантных эллиптических параболоидов. Затем исследование предельных циклов построенной системы третьего порядка сводится к исследованию соответствующей системы второго порядка на каждом из инвариантных эллиптических параболоидов. Доказательство нелокального существования предельного цикла и установление характера его устойчивости для такой системы второго порядка проводится с помощью построения топографической системы Пуанкаре или перехода к полярным координатам.

1. Методы качественной теории в нелинейной динамике / Л. П. Шильников [и др.]. – М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2003. – 428 с.

2. Hirsch, M. V. Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos / M. W. Hirsch, S. Smile, R. L. Devaney. – Amsterdam: Academic Press, 2013. – 418 p. https://doi.org/10.1016/C2009-0-61160-0

3. Kuznetsov, Y. A. Elements of Applied Bifurcation Theory / Y. A. Kuznetsov. – 2nd ed. – New York: Springer-Verlag, 1998. – 593 p. – (Applied Mathematical Sciences; vol. 112). https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2421-9

4. Bifurcation Theory and Catastrophe Theory / V. I. Arnold [et al]; ed. V. I. Arnold. – New York: Springer-Verlag, 1994. – 274 p. – (Dynamical Systems V / Encyclopaedia of Mathematical Sciences; vol. 5). https://doi.org/10.1007/978-3-642-57884-7

5. Wiggins, S. Introduction to Applied Non-linear Dynamical Systems and Chaos / S. Wiggins. – 2nd ed. – New York: Springer-Verlag, 2003. – 844 p. – (Texts in Applied Mathematics; vol. 2).

6. Hassard, B. D. Theory and Applications of Hopf Bifurcation / B. D. Hassard, N. D. Kazarinoff, Y.-H. Wan. – Cambridge: Cambridge University Press, 1981. – 320 p. – (London Mathematical Society Lecture Note Series; vol. 41).

7. Reyn, J. Phase portraits of planar quadratic systems / J. Reyn. – New York: Springer-Verlag, 2007. – 334 p. – (Mathematics and Its Applications; vol. 583). https://doi.org/10.1007/978-0-387-35215-2

8. Булгаков, В. И. Об одной бифуркации негрубого фокуса автономной системы третьего порядка / В. И. Булгаков, А. А. Гринь // Дифференц. уравнения. – 1996. – Т. 32, № 12. – С. 1703.

9. Romanovski, V. G. Centers and limit cycles in polynomial systems of ordinary differential equations / V. G. Romanovski // Advanced Studies in Pure Mathematics. – 2016. – Vol. 68. – P. 267–373. https://doi.org/10.2969/aspm/06810267

10. Баутин, Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. – 2-е изд., доп. – М.: Наука, 1990. – 486 с.

11. Tigan, G. Degenerate Fold – Hopf Bifurcations in a Rössler-Type System / G. Tigan, J. Llibre, L. Ciurdariu // Int. J. Bifurcation Chaos. – 2017. – Vol. 27, № 5. – P. 1–8. https://doi.org/10.1142/S0218127417500687

12. Черкас, Л. А. Конструктивные методы исследования предельных циклов автономных систем второго порядка (численно-алгебраический подход) / Л. А. Черкас, А. А. Гринь, В. И. Булгаков. – Гродно: ГрГУ, 2013. – 489 с.

13. Булгаков, В. И. О фазовом портрете автономной системы третьего порядка / В. И. Булгаков // Дифференц. уравнения. – 1988. – Т. 24, № 10. – С. 1821–1822.

14. Булгаков, В. И. О бифуркациях предельных циклов квадратичной трехмерной системы в окрестности негрубого фокуса / В. И. Булгаков, Л. А. Черкас // Докл. АН БССР. – 1982. – Т. 26, № 108. – С. 681–684.

15. Bibikov, Y. N. Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations / Y. N. Bibikov. – New York: Springer-Verlag, 1979. – 150 p. – (Lecture Notes in Mathematics; vol. 702).