Рассматривается задача построения вещественных автономных квадратичных систем трех дифференциальных уравнений с нелокальным существованием бесконечного числа предельных циклов. Имеется в виду, что бесконечное число предельных циклов, появившись из фокуса за счет бифуркации Андронова – Хопфа, может существовать в фазовом пространстве не только в окрестности фокуса и не только для значений параметра, близких к бифуркационному значению. Для решения поставленной задачи применяется способ нахождения предельных циклов как линий пересечения инвариантной плоскости с семейством инвариантных эллиптических параболоидов. Затем исследование предельных циклов построенной системы третьего порядка сводится к исследованию соответствующей системы второго порядка на каждом из инвариантных эллиптических параболоидов. Доказательство нелокального существования предельного цикла и установление характера его устойчивости для такой системы второго порядка проводится с помощью построения топографической системы Пуанкаре или перехода к полярным координатам.

Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка иерархии Риккати. Понятие обобщенного решения для такого уравнения не может быть введено в рамках классической теории обобщенных функций ввиду того, что не определено произведение обобщенных функций. Для введения понятия обобщенного решения рассмотрены два подхода. При первом подходе использована аппроксимация решениями задачи Коши с комплексными начальными условиями и обобщенные решения определены как пределы аппроксимирующих семейств в смысле сходимости в D′(¡). Показано, что существуют два обобщенных решения задачи Коши. Вид решения зависит от того, в верхней или в нижней полуплоскости расположены полюсы аппроксимирующего решения. При втором подходе используется аппроксимация с помощью системы уравнений. Показано, что существует много аппроксимирующих систем и обобщенные решения задачи Коши зависят от выбора аппроксимирующей системы.

Изучается вычислительная сложность задачи разбиения ребер двудольного графа на наименьшее число подграфов, изоморфных подграфам простого цикла порядка 4, в специальных классах графов. Задача относится к числу NP-трудных и находит применение при организации распределения сетевых пакетов по каналам связи в процессе передачи от одного маршрутизатора к другому. Разработан алгоритм, решающий задачу в классе деревьев порядка n за время O(n log n). Выделены трудноразрешимые случаи задачи.

Известно, что существование многих классических комбинаторных структур в графе, таких как совершенные паросочетания, гамильтоновы циклы, эффективные доминирующие множества и другие, может быть охарактеризовано с помощью (κ,τ)-регулярных множеств, определение которых эквивалентно нахождению этих классических комбинаторных структур. В свою очередь, определение (κ,τ)-регулярных множеств тесно связано со свойствами главного спектра графа. Нами используются полученные ранее обобщенные свойства (κ,τ)-регулярных множеств графов для разработки алгоритма распознавания трассируемости графа. Также получены новые достаточные условия существования максимальной простой цепи в графе в терминах спектрального радиуса матрицы смежности и беззнаковой матрицы Лапласа графа.

Рассматривается многокритериальная задача целочисленного линейного программирования с параметрическим принципом оптимальности. Параметризация реализована путем разбиения множества критериев на несколько упорядоченных по важности непересекающихся групп (подмножеств) критериев с доминированием по Парето в пределах каждой группы. Введенный параметрический принцип оптимальности позволил связать такие классические принципы оптимальности, как лексикографический и паретовский. Для радиуса устойчивости, который является предельным уровнем возмущений параметров задачи, не приводящих к появлению новых оптимальных решений, получены верхняя и нижняя оценки в случае произвольных норм Гёльдера в критериальном пространстве и пространстве решений. Некоторые ранее известные результаты по устойчивости булевой задачи линейного программирования сформулированы в качестве следствий. 

Рассматривается применение метода матричной декомпозиции для анализа хаотического осциллятора Чжуа. Показано, что система уравнений, описывающих осциллятор, методом матричной декомпозиции может быть разложена на линейный, квадратичный и кубический члены. Разложение в матричный ряд позволило рассмотреть переход к хаосу в системе Чжуа с точки зрения модели начальной турбулентности Л. Д. Ландау. Возникновение нового хаотического состояния в системе при выборе стационарного значения переменной пространства состояний объясняется методом сечений Пуанкаре. Для системы уравнений, полученных методом матричной декомпозиции, проведен спектральный и бифуркационный анализ. Выполнено компьютерное моделирование полученной системы в среде MATLAB-Simulink. Компьютерная Simulink-модель является основой построения информационной технологии распознавания хаотической динамики осцилляторов типа Чжуа.

Исследована трансформация светового пучка конического типа двуосным кристаллом при распространении вдоль одной из его оптических осей. Пучок формируется аксиконом из гауссова входного поля циркулярной поляризации. В зависимости от положения аксикона на кристалл падает или бесселев пучок, или смесь бесселева с коническим. Проведен расчет коэффициента преобразования из бесселева пучка нулевого порядка в пучок первого порядка, обладающий фазовой дислокацией. Показано, что если угол конуса пучка и его диаметр достаточно большие, то он преобразуется в поле, которое с высокой точностью является бессель-гауссовым пучком первого порядка. При этом коэффициент преобразования близок к единице. Исследован также случай малого угла конуса падающего бесселева пучка. Показано, что в этом случае эффективность трансформации существенно зависит от вида пространственного спектра. При малом угле конуса вид пространственного спектра определяется диаметром падающего гауссова пучка, а именно: по мере уменьшения диаметра спектр пучка изменяется от кольцевого к близкому к гауссову, проходя через промежуточную форму в виде суперпозиции этих двух профилей. Влияние пространственного спектра состоит в том, что коэффициент преобразования уменьшается с уменьшением вклада в спектр кольцевой компоненты. При этом коэффициент преобразования всегда выше, чем для схемы без аксикона, когда на кристалл падает гауссов пучок. Следовательно, введение в пучок даже небольшой конусности, что может быть реализовано, например, с помощью схемы с двумя аксиконами с близкими углами отклонения луча, позволяет повысить коэффициент трансформации поля. Полученные результаты представляют и практический интерес, в частности для разработки лазерных излучателей полей конического типа с малым углом конуса для зондирования на дальние расстояния и оптической связи в свободном пространстве.

Рассмотрена проблема поглощения неполяризованного (естественного) света двумерным ансамблем (монослоем) сферических частиц при наклонном освещении. Для ее решения использована статистическая теория многократного рассеяния волн. Записанные уравнения позволяют находить оптимальные условия поглощения направленного излучения для увеличения эффективности поглощения монослоев c периодическим и частично упорядоченным пространственным расположением частиц. Приведены результаты расчетов коэффициента поглощения поляризованного и естественного излучения ансамблями частиц серебра в непоглощающей среде. Размер частиц и фактор заполнения монослоя выбраны так, чтобы проиллюстрировать зависимость поглощения от угла падения в условиях проявления резонансных эффектов, обусловленных пространственной организацией частиц. Показано, что в области резонансного пика поглощения при освещении по нормали монослой с треугольной решеткой из частиц серебра может поглощать почти на порядок больше падающего излучения, чем частично упорядоченный слой. Коэффициент поглощения монослоя при направленном наклонном освещении может быть почти на порядок больше, чем при освещении по нормали. Результаты могут быть использованы для оптимизации конструкций оптоэлектронных устройств на основе монослоев частиц.

Получено соотношение для фазового времени туннелирования электромагнитного излучения для слоя идеальной плазмы в диэлектрике для частот ω ниже плазменной частоты ω_p в пределе низкой прозрачности слоя. Установлено, что в рамках рассматриваемой модели время туннелирования не зависит от толщины плазменного слоя и задается только значениями частот ω и ω_p. С понижением частоты излучения время туннелирования стремится к пределу, определяемому обратной плазменной частотой, что позволяет в этом случае интерпретировать процесс туннелирования как своеобразный всплеск плазменного слоя как целого, в результате которого и формируется прошедшее излучение. Поскольку коэффициент пропускания плазменного слоя весьма низок, полученный результат не позволяет говорить о сверхсветовом переносе энергии. 

На основе системы балансных уравнений проведен анализ эффекта насыщения усиления в квантово-каскадных структурах с 2–4 квантовыми ямами в периоде. Показано, что параметр нелинейности уменьшается при увеличении скорости релаксации лазерных уровней, но при этом растет полный ток через структуру. Использование предложенных многофотонных дизайнов приводит к уменьшению параметра нелинейности без увеличения рабочего тока. Например, в двухфотонной схеме лазерных переходов при одинаковых вероятностях переходов и коэффициентах дифференциального усиления достигается в 2 раза более медленное насыщение коэффициента усиления с ростом плотности фотонов, что обусловливает более высокую эффективность генерации, чем в однофотонных схемах.

Представлены результаты исследования спектров излучения кристаллов и тонких пленок CuInSe₂ при непрерывном (2 Вт/см²) и наносекундном импульсном лазерном возбуждении в диапазоне плотности мощности возбуждения ~1–100 кВт/см² и температурах 10–160 К. Обнаружено, что в кристаллах CuInSe₂ стимулированное излучение возникает в спектральной области 1,033 эВ с минимальным уровнем пороговой накачки 9,8 кВт/см², а при уровнях накачки 36–76 кВт/см² наблюдается лазерное излучение. Установлено, что для тонких пленок CuInSe₂, сформированных на стеклянных подложках с предварительно осажденным на стекло слоем молибдена (структура CuInSe₂/Mo/стекло), характерно появление только стимулированного излучения в области энергий 1,014–1,097 эВ с минимальным уровнем пороговой накачки 30 кВт/см² при температуре 10 К. Обсуждаются механизмы возникновения стимулированного и лазерного излучения в соединении CuInSe₂.