Прямой спектральный метод Чебышева для решения обобщенного уравнения крыла
https://doi.org/10.29235/1561-2430-2026-62-1-15-26
Аннотация
Рассмотрено обобщенное интегро-дифференциальное уравнение Прандтля, в котором сингулярные интегралы содержат как искомое решение, так и его производную. Для решения данной задачи построены прямые численные методы, основанные на представлении решения и переменных коэффициентов уравнения в виде интерполяционных многочленов Чебышева. Развитый подход, использующий известные спектральные соотношения, позволяет получить аналитические выражения для сингулярной составляющей задачи и сводит ее решение к системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов интерполяционного многочлена. Построены две вычислительных схемы решения с использованием полиномов Чебышева первого и второго рода соответственно. На примере модельной задачи показано, что обе схемы обеспечивают хорошую обусловленность алгебраической задачи и обладают высокой точностью, демонстрируя экспоненциальную скорость сходимости погрешности.
Ключевые слова
сингулярное уравнение,
интегро-дифференциальное уравнение,
ортогональный базис полиномов Чебышева,
спектральный метод Чебышева,
обобщенное уравнение Прандтля
При поддержке: Работа выполнена в рамках Государственной программы научных исследований «Конвергенция-2025», подпрограмма «Математические модели и методы», задание 1.4.01.2.
Об авторах
Г. А. Расолько
Белорусский государственный университет
Беларусь
Беларусь
Расолько Галина Алексеевна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования
пр. Независимости, 4, 220030, Минск
В. М. Волков
Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Беларусь
Беларусь
Волков Василий Михайлович – доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник
ул. Сурганова, 11, 220072, Минск
М. В. Игнатенко
Белорусский государственный университет
Беларусь
Беларусь
Игнатенко Марина Викторовна – кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой веб-технологий и компьютерного моделирования
пр. Независимости, 4, 220030, Минск
Список литературы
1. Голубев, В. В. Лекции по теории крыла / В. В. Голубев. – М.: Наука, 1949. – 480 с.
2. Габдулхаев, Б. Г. Прямые методы решения уравнения теории крыла / Б. Г. Габдулхаев // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1974. – № 2. – С. 29–44.
3. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. – Киев: Наукова думка, 1968. – 287 с.
4. Elliott, D. A сomprehensive approach to the approximate solution of singular integral equations over the arc (−1,1) / D. Elliott // The Journal of Integral Equations and Applications. – 1989. – Vol. 2, № 1. – P. 59–94. https://doi.org/10.1216/jie1989-2-1-59
5. Sahlan, M. N. Operational matrices of Chebyshev polynomials for solving singular Volterra integral equations / M. N. Sahlan, H. Feyzollahzadeh // Mathematical Sciences. – 2017. – Vol. 11, № 2. – P. 165–171. https://doi.org/10.1007/s40096-017-0222-4
6. Расолько, Г. А. Численное решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения Прандтля методом ортогональных многочленов / Г. А. Расолько // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2018. – № 3. – С. 68–74.
7. Расолько, Г. А. К численному решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения Прандтля методом ортогональных многочленов / Г. А. Расолько // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2019. – № 1. – С. 58–68. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-58-68
8. Расолько, Г. А. Об одном методе численного решения некоторых сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / Г. А. Расолько, С. М. Шешко, М. А. Шешко // Дифференциальные уравнения. – 2019. – Т. 55, № 9. – С. 1285–1292. https://doi.org/10.1134/S0374064119090115
9. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М.: Наука, 1973. – 297 с.
10. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1968. – 513 с.
11. Rasolko, G. A. Chebyshev spectral method for one class of singular integro-differential equations / G. A. Rasolko, V. M. Volkov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2025. – Vol. 65, № 2. – Р. 339–348. https://doi.org/10.1134/s0965542524701963
12. Пашковский, С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева / С. Пашковский. – М.: Наука, 1983. – 384 c.
13. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука, 1989. – 543 с.
14. Ожегова, А. В. О сходимости в интегральной метрике приближенных решений обобщенного уравнения теории крыла / А. В. Ожегова, Л. А. Сурай // Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева. – 2014. – № 1. – С. 64–67.
Рецензия
Просмотров:
171
JATS XML
Послать статью по эл. почте 
