Рассмотрена смешанная контактная задача теории упругости в верхней полуплоскости. Границей является действительная полуось, разделенная на четыре части, на каждой из которых заданы граничные условия для действительной или мнимой части двух искомых аналитических функций. С помощью новых неизвестных функций задача сведена к неоднородной краевой задаче Римана с 2 × 2 кусочно-постоянной матрицей и четырьмя особыми точками. Построено дифференциальное уравнение класса Фукса с четырьмя особыми точками, матрицы-вычеты которого найдены «методом логарифмирования» произведения матриц. Единственное решение задачи выражено через интегралы типа Коши при выполнении одного условия разрешимости.

Хорошо известно, что задача распознавания существования в графе совершенного паросочетания, как и задачи распознавания его гамильтоновости и трассируемости, является NP-полной. Совсем недавно были получены нижние оценки на размер и спектральный радиус графа, гарантирующие существование в нем совершенного паросочетания. Мы улучшаем эти оценки, во-первых, благодаря использованию имеющихся оценок на размер графа для существования в нем гамильтоновой цепи, во-вторых, благодаря нахождению новых нижних оценок на спектральный радиус графа, являющихся достаточными для наличия свойства трассируемости. Также приводится алгоритм распознавания существования в графе совершенного паросочетания, использующий понятие (κ,τ)-регулярного множества, который становится полиномиальным в классе графов с фиксированным цикломатическим числом.

В аналитическом виде представлено классическое решение в классе непрерывно дифференцируемых функций произвольного порядка со смешанными граничными условиями в четверти плоскости для волнового уравнения. Граница области состоит из двух перпендикулярных полупрямых. На одной из них задаются условия Коши. Вторая полупрямая разделена на две части: конечный отрезок и оставшаяся часть в виде полупрямой. На отрезке задается условие Дирихле, на второй части в виде полупрямой – условие Неймана. В четверти плоскости определяется классическое решение рассматриваемой задачи при построении которого выписывается частное решение исходного волнового уравнения. Для заданных функций задачи выписываются условия согласования, которые являются необходимыми и достаточными, чтобы решение задачи было классическим высокого порядка гладкости и единственным.

Рассмотрено новое гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение произвольного порядка на замкнутой кривой, расположенной в комплексной плоскости. Интегралы в уравнении понимаются в смысле конечной части по Адамару. Уравнение относится к линейным интегро-дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами частного вида, характерной особенностью является его запись с помощью определителей, близких к определителям Вронского. Для исследования привлекается метод аналитического продолжения, свойства определителей, обобщенные формулы Сохоцкого. Уравнение сводится к краевой задаче Римана о скачке в некотором классе функций. Если задача Римана оказывается разрешимой, то далее следует решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения в классе аналитических функций в областях комплексной плоскости. Неочевидным является анализ получаемых решений в бесконечно удаленной точке. Исследование носит законченный характер. В явном виде выписаны условия разрешимости исходного уравнения. При их выполнении в явном виде записано решение, приведен пример.

Настоящая работа посвящена построению компактных разностных схем для уравнений конве ции-диффузии с дивергентными и недивергентными конвективными слагаемыми. Доказывается устойчивость и сходимость в сеточных нормах. Полученные результаты обобщаются на многомерные уравнения конвекции-диффузии. Приведенные в работе тестовые численные расчеты согласуются с теоретическими выводами.

Целью данной работы является изучение нового подхода к построению квадратурных формул интерполяционно-рационального типа на отрезке. Проведен краткий анализ результатов по теме исследования, где основное внимание уделено работам математиков белорусской школы по теории аппроксимации – квадратурным формулам Гаусса, Лобатто, Радо с узлами в нулях рациональных дробей Чебышева – Маркова. Определяются рациональные дроби на отрезке, обобщающие классические ортогональные многочлены Якоби с одним весом, и описываются некоторые их свойства. Один из основных результатов работы состоит в построении квадратурных формул с узлами в нулях введенных рациональных дробей, вычислении их коэффициентов в явном виде, оценке остатка. Ему предшествуют некоторые вспомогательные утверждения, описывающие свойства специальных рациональных функций. Для доказательства используются классические методы математического анализа, теории приближений и теории функций комплексного переменного. Проводится численный анализ эффективности построенных квадратурных формул. При этом выбор параметров, от которых зависят узлы квадратурных формул, производится несколькими стандартными способами. Полученные результаты могут быть применены для дальнейшего исследования рациональных квадратурных формул, а также в численном анализе.

Рассмотрена ограниченная круговая задача трех тел в однородной и неоднородной средах. Особое внимание уделено точкам либрации, выведены условия, при которых они существуют или не могут существовать в ньютоновском и постньютоновском приближениях общей теории относительности. Указан ряд закономерностей, ньютоновских и релятивистских новых эффектов, возникающих благодаря воздействию на тела гравитационных полей сред и релятивистских силовых добавок в дифференциальных уравнениях движения тел. С использованием выведенных ранее уравнений движения двух тел A₁, A₂ в среде авторами обоснованы следующие утверждения. В однородной среде (плотность среды ρ = const) в ньютоновском приближении общей теории относительности существуют точки ρ-либрации , 1,...,5, движущиеся по тем же окружностям, что и эйлеровы и лагранжевы точки либрации L_i, но с угловой скоростью _{0 ,} большей угловой скорости ω₀ точек либрации L_i в пустоте. Тела A₁, A₂ по своим окружностям двигаются также с угловой скоростью ₀ > w При переходе из ньютоновского приближения общей теории относительности в постньютоновское приближение общей теории относительности центр масс двух тел, покоившийся в однородной среде в ньютоновском приближении общей теории относительности, должен перемещаться по циклоиде, а траектории тел не могут быть окружностями, точки либрации L_i исчезают. В случае неоднородной среды, распределенной, например, сферически симметрично, центр масс двух тел уже в ньютоновском приближении общей теории относительности должен двигаться по циклоиде, хотя в пустоте он покоился. Поэтому тела A₁, A₂ должны описывать витки, образующие, образно говоря, «кружева», как и в случае однородной среды в постньютоновском приближении общей теории относительности. В силу существования «кружевного» эффекта движения точки либрации L_i уничтожаются. В частном случае, когда массы тел A₁, A₂ равны (m₁ = m₂), циклоиды исчезают и все точки ρ-либрации в однородной и неоднородной средах в ньютоновском и постньютоновском приближениях общей теории относительности существуют. Проведены численные оценки предсказываемых закономерностей и эффектов в Солнечной и других планетарных системах, в межзвездной и межгалактической средах. Смещения, связанные с упомянутыми эффектами, например смещение центра масс, могут достигать многих миллиардов километров за один оборот системы двух тел. Обсуждается возможная роль этих закономерностей и эффектов в теориях эволюции планетарных систем, галактик и их ансамблей. Дан краткий обзор исследований, проведенных белорусской научной школой по проблеме движения тел в средах в общей теории относительности.

Рассмотрено (1+1)-мерное уравнение движения теории φ⁴ при одновременном учете процессов диссипации и нарушения инвариантности относительно преобразований Лоренца. В аналитической форме построено топологически нетривиальное решение данного уравнения, описывающее состояние типа одиночного кинка. Для этой цели был использован модифицированный прямой метод Хироты решения нелинейных уравнений в частных производных. Указанная модификация метода привела к определенным ограничениям на допустимые значения параметров модели и решения, при которых оно возможно.

Известное уравнение для частицы со спином 3/2, предложенное Паули и Фирцем, основано на использовании волновой функции с трансформационными свойствами вектора-биспинора. Менее известным является уравнение, основанное также на 16-компонентной функции, которое было предложено Фрадкиным. При занулении дополнительного к заряду параметра Λ из уравнения Фрадкина следует уравнение Паули – Фирца. С целью установления физической интерпретации дополнительного параметра Λ в настоящей работе решен вопрос о получении нерелятивистского приближения в теории Фрадкина, при этом учитывается присутствие внешних электромагнитных полей. С использованием метода проективных операторов волновая функция разложена на нерелятивистские большие и малые составляющие, выведено обобщенное нерелятивистское уравнение для 16-компонентной волновой функции. Показывается, что при сохранении в этом уравнении членов первого порядка по параметру Λ после перехода к четырем независимым компонентам нерелятивистской волновой функции возникает обычное нерелятивистское уравнение для теории Паули – Фирца. Если сохранять члены второго порядка по Λ, то возникает 4-компонентное нерелятивистское уравнение с дополнительным членом взаимодействия, причем только с магнитным полем. Это взаимодействие квадратично по компонентам магнитного поля и зависит от шести 4-мерных матриц. Делается вывод, что теория Фрадкина описывает частицу с магнитным квадрупольным моментом.

На основе выражений для показателя преломления изонормальных волн проанализирована возможность выполнения коллинеарного фазового синхронизма для параметрической генерации света в произвольных направлениях двуосного кристалла KTA при накачке излучением YAG:Nd-лазера. Рассчитаны перестроечные кривые, определяющие диапазон перестройки сигнальной и холостой волн для синхронизма типов I и II и произвольных углов q и j в случаях, когда перестройка осуществляется по углу q при фиксированном угле j и наоборот. Определены эффективные нелинейные коэффициенты. Показано, что их максимальное значение обеспечивается при 90-градусном по углу q фазовом синхронизме типа II. Для случая генерации безопасного для глаз излучения произведена оценка спектральной и угловой ширины синхронизма, а также ширины полосы усиления ПГС при монохромной накачке.