Функция, определенная на нормированном пространстве X, называется выпуклой относительно множества LĈ := LĈ (X,R ) липшицевых классически вогнутых функций (далее для краткости – LĈ -выпуклой), если она является верхней огибающей некоторого подмножества функций из LĈ. Функция является LĈ –выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. В статье вводится понятие LĈ -субдифференцируемости функции в точке, т. е. субдифференцируемости относительно липшицевых вогнутых функций, обобщающее понятие субдифференцируемости классически выпуклых функций, и доказывается, что для любой LĈ -выпуклой функции множество точек, в которых она является LĈ -субдифференцируемой, является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда – Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций. Используя элементы подмножества LĈ _θ ⊂ LĈ , состоящего из таких липшицевых вогнутых функций, которые принимают нулевое значение в нулевой точке пространства X, определяются понятия LĈ _θ LĈ -субградиента и LĈ _θ  -субдифференциала функции в точке. Исследуются свойства LĈ _θ -субдифференциалов и их связь с классическим субдифференциалом Фенхеля – Рокафеллара. Рассматривая в качестве элементарных функций множество LČ := LČ (X,R ) липшицевых выпуклых (в классическом смысле) функций, вводятся симметричные LĈ -выпуклости и LĈ -субдифференцируемости понятия LČ -вогнутости и LČ -супердифференцируемости функций. В терминах LĈ_θ –субдифференциалов и LČ_θ -супердифференциалов устанавливаются критерии для точек глобального минимума и максимума функций.

Для одношаговых случайных марковских процессов проводится сравнение операторного и комбинаторного методов, основанное на использовании функциональных интегралов. При комбинаторном подходе используется переход от стохастического дифференциального уравнения к функциональному интегралу, с помощью которого получено выражение для среднего размера популяции. При операторном подходе переход к функциональному интегралу осуществляется через операторы рождения и уничтожения. Показано, что средние значения, вычисленные с помощью функциональных интегралов, возникающих при комбинаторном и операторном подходах, совпадают.

Рассматривается первая смешанная задача для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе, при этом исследуется существование и единственность решения произвольной гладкости. При решении данной задачи с помощью метода характеристик возникают эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры второго рода. Для полученных интегральных уравнений доказано существование единственного решения в классе n раз непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости начальных данных. Показано также, что для гладкости решения исходной задачи необходимо и достаточно выполнения условий согласования заданных функций при их достаточной гладкости. Метод характеристик сводится к разбиению всей области решения на подобласти, в каждой из которых строятся решения подзадач с использованием начальных и граничных условий. Полученные решения затем склеиваются в общих точках, порождая условия склейки, которые и являются условиями согласования. Данный подход позволяет строить как точные, так и приближенные решения. Точные решения могут быть найдены тогда, когда удается разрешить эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры. В противном случае можно найти приближенное решение задачи либо в аналитическом, либо в численном виде. Наряду с этим при построении приближенного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при использовании численных методов решения задачи.

Работа посвящена разработке математического аппарата для получения байесовских оценок параметров многомерных регрессионных объектов в их конечномерном многомерно-матричном описании. Такая потребность возникает, в частности, в задаче дуального управления регрессионными объектами, когда для описания многомерного управляемого объекта применяется многомерно-матричный математический аппарат. В статье вводится понятие одномерной случайной ячейки как совокупности многомерных случайных матриц (в соответствии с данными типа «массив ячеек» в системе программирования Матлаб) и дается определение совместного гауссовского распределения многомерных случайных матриц (определение гауссовской одномерной случайной ячейки). Это потребовало введения понятия одномерной ячейки математического ожидания и понятия двумерной ячейки вариаций-ковариаций одномерной случайной ячейки. Далее вычисляется один интеграл, связанный с функцией совместной гауссовской плотности вероятности многомерных случайных матриц. Приводятся две формулы полной вероятности и формула Байеса для совместных многомерно-матричных гауссовских распределений. На основе этих результатов получены байесовские оценки неизвестных коэффициентов многомерно-матричной полиномиальной функции регрессии. Алгоритм расчета байесовских оценок реализован в виде компьютерной программы. Представленные результаты обладают теоретической и алгоритмической общностью.

Приведены новые примеры построения модельных задач механики деформируемого твердого тела с использованием аппарата дробного дифференцирования. Построены решения краевых задач механики, в которых определяющие дифференциальные уравнения имеют дробный порядок. Рассмотрены, в частности, такие задачи, как модель «фрактального» осциллятора, модельная задача о распространении динамических волн в массивах горных пород, модельные задачи о распространении волн деформаций в деформируемых вязкоупругих средах (полубесконечном вязкоупругом стержне) для различных моделей вязкоупругости. При построении решений использовался алгоритм Майнарди и преобразование Лапласа. Найдены модельные решения для рассмотренных классов задач. Получены асимптотические решения уравнений распространения волн в вязкоупругих средах при различных моделях вязкоупругости.

На основе ранее решенной классической задачи сформулирована квантово-механическая задача о движении двух материальных точек различных масс на трехмерной сфере с нефиксированным положением центра масс системы. Показано, что в установленное уравнение Шредингера входят две различные приведенные массы, зависящие от расстояния между точками. Для случая потенциала взаимодействия точек, который зависит только от расстояния между ними, данное уравнение допускает разделение переменных на радиальную, зависящую от относительного расстояния, и обоих приведенных масс, а также сферическую части. Уравнение для сферической части зависит только от одной из приведенных масс и позволяет сформулировать и решить задачу о жестком ротаторе. Найдены решение и спектр задачи о жестком ротаторе. Показано, что спектр системы имеет верхнюю границу, не зависящую от расстояния между точками в отличие от спектра в плоском пространстве.

P-симметричная теория частицы с аномальным магнитным моментом была развита Петрашем в рамках общего подхода Гельфанда – Яглома. Недавно в рамках аналогичного подхода было введено P-асимметричное волновое уравнение для частицы со спином 1/2, которое описывает частицу с электрическим дипольным моментом. В настоящей работе исследуются решения уравнения для P-асимметричной частицы в присутствии внешних магнитных полей. Оказалось, что энергетический спектр P-асимметричной частицы такой же, как у P-симметричной частицы. Для обоснования этого совпадения показано, что существует простое преобразование, с помощью которого одно волновое уравнение может быть приведено к виду другого, при этом выражения для волновых функций и операторов P-отражения различны в этих двух теориях. Данный подход обобщен на модель, в которой представлены оба сектора: P-симметричный и P-асимметричный. Основной результат оказался тем же: существует простое преобразование, более общее, чем указанное выше, связывающее P-симметричную модель и модель с двумя секторами, выражения для волновых функций и операторов P-отражения различны в этих двух базисах. Показано, что при наличии внешнего однородного магнитного поля энергетические спектры в модели с двумя секторами совпадают с таковыми в P-симметричной теории. Таким образом, развита общая теория P-асимметричной модели и модели с двумя секторами в рамках подхода Петраша.

Исследован процесс трансформации кольцевого пучка в поле бесселева типа за счет дифракции при распространении в свободном пространстве на большие расстояния и вследствие эффекта фокусировки. Рассмотрен ряд моделей кольцевых полей, включая аналитическую модель в виде полиномиальной функции в ограниченной области пространства, а также экспериментально реализуемую модель на основе схемы с двумя аксиконами. Проведено сравнение поперечного и продольного распределений интенсивности для этих моделей и обнаружена высокая степень устойчивости структуры продольного распределения осевой интенсивности к изменению модели кольцевого поля. Данное продольное распределение характеризуется наличием интенсивного максимума с несимметричным профилем, появление которого не связано с линзовой фокусировкой. В начальной области указанного максимума зарождается процесс формирования бесселева пучка из кольцевого и имеет место резкое увеличение интенсивности. Обнаружено также, что фокусировка кольцевого поля на большие расстояния существенно отличается от фокусировки на короткие расстояния. В случае больших расстояний рост осевой интенсивности имеет место не в окрестности фокальной плоскости, а значительно ближе к излучателю, причем выброс интенсивности, вызванный непосредственно фокусировкой, не идентифицируется. Рассчитан поперечный профиль пучка бесселева типа на больших расстояниях. Показано, что этот профиль характеризуется малым числом боковых колец, а в осевом максимуме и первом кольце содержится более 90 % световой мощности. Рассмотрена проблема генерации модельного кольцевого поля резонатором Фурье-типа со специальным зеркалом-транспарантом.

Основой современных методов защиты продукции, товаров, документов и ценных бумаг являются голографические защитные технологии, развитие которых свидетельствует о том, что они совершенствуются, появляются новые оборудование и материалы, разрабатываются новые методы записи голограмм, повышается их технологичность, упрощается идентификация и проверка подлинности. В современной голографии комбинированные изображения применяются очень широко. При создании комбинированных изображений возникают различные оптические эффекты, такие как муар, параллакс, изменение цвета и другие, которые в комбинации между собой, а также с другими изображениями (микротекст, скрытые изображения, последовательная нумерация, маркировка, кодирование, химические индикаторы) позволяют использовать их как для защиты документов, так и для получения оригинального художественного эффекта. В статье рассматриваются комбинированные защитные элементы на основе рельефно-фазовой голограммы с нанесенным полимерным слоем-носителем, содержащим скрытое изображение, видимое в поляризованном свете. Данный защитный элемент получил название «кристаллограмма». В процессе разработки кристаллограммы был освоен синтез мономеров и приготовление анизотропной поляризуемой композиции, получен слой полимеризуемых жидких кристаллов (ПЖК) с контрастной визуализацией скрытого изображения. Отработана технология совмещения рельефно-фазовой голограммы с нанесенным полимерным слоем-носителем с последующим блокированием слоя ПЖК защитными лаковыми слоями.

Проведено проектирование и моделирование метаповерхности, позволяющей преобразовать падающую линейно поляризованную электромагнитную волну в прошедшую волну с эллиптической поляризацией, близкой к циркулярной. При этом коэффициент отражения волны близок к нулю на резонансной частоте, поскольку метаповерхность аналогична свободному пространству по своему волновому сопротивлению. Резонансными элементами метаповерхности (метаатомами) являются двухвитковые планарные спирали, обладающие сбалансированными диэлектрическими и магнитными свойствами. Такие спирали проявляют кардинально различные свойства по отношению к волнам с правой и левой циркулярной поляризацией. Метаповерхность как преобразователь поляризации обладает сильными хиральными свойствами, поскольку содержит планарные спирали только одного направления закручивания, и может быть изготовлена в рамках технологий печатных плат.

Рассматриваются методические рекомендации по проектированию вместительной способности электронных пунктов по сбору коммунально-бытовых отходов. Данные пункты используются как элементы инфраструктуры с многоступенчатой схемой материально-технического обеспечения процесса вывоза мусора. Работа содержит теоретическую и методическую информацию о процедуре размещения пунктов сбора отходов в городах с помощью установления параметров процесса накопления мусора, расчета проектной емкости мусорохранилищ в установленных пунктах, а также разработки маршрутов транспортировки отходов к месту их захоронения. Представлена зависимость затрат на материально-техническое обеспечение, которое включает затраты на содержание пунктов по сбору коммунально-бытовых отходов и их вывоз на полигоны, от длительности периода накопления отходов. Разработана математическая модель по оптимизации затрат на логистическую поддержку, принимающая во внимание наиболее важные параметры системы вывоза и захоронения мусора, такие как топология пунктов сбора, интенсивность накопления отходов, конфигурация маршрутов, грузовместимость транспорта. На примере столицы Вьетнама – г. Ханой – подсчитано необходимое количество пунктов сбора мусора и рассмотрен объем накопления отходов на каждом из них, установлен оптимальный период накопления мусора, при котором совокупные расходы на логистическую поддержку вывоза и захоронения бытовых отходов минимальны. Выработаны рекомендации по организации транспортировки бытового мусора в зависимости от непосредственного уровня наполняемости емкостей пунктов сбора коммунально-бытовых отходов.